Ecole normale supérieure de Lyon
Département de mathématiques

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Topologie et calcul différentiel

Contenu du cours de topologie et calcul différentiel

Topologie

Distances, espaces métriques
- objets topologiques : ouverts, fermés, voisinages, adhérence, intérieur, parties denses...
- fonctions continues : en un point, globalement.
- espaces R, [0,+\infty], R barre, N barre
- Notion(s) de limite.
- limite de suite et valeur d'adhérence.
- produit fini d'espaces métriques.
- propriétés métriques : fonctions lipschitziennes et uniformément continues.

Espaces vectoriels normés
Espaces vectoriels normés, applications linéaires et multilinéaires
continues, norme subordonnée.

Espaces complets
- Définition.
- Théorèmes de point fixe et de prolongement des applications
uniformément continues.
- Espaces de Banach, exemples (fonctions continues bornées, linéaires
continues,…) et applications (Id+u inversible, ...).

Début des espaces de Hilbert
définition, théorème de projection et corollaires (décomposition somme
directe et Riesz).

Le reste (bases et identification l^2, séries de Fourier) sera vu
dans le cours "Intégration et mesure".

Un tout petit peu de topologie générale
Court chapitre (1h environ) consistant à
dégager du cas métrique la définition de topologie générale et
reformuler les définitions vues dans ce cadre. Notion d'espace
topologique séparé.

Espaces compacts
- Définition,  axiome de Borel-Lebesgue, compacts de R, propriétés.
- Métrique : suites extraites et Heine.
- produit fini de compacts.
- Equivalence des normes en dimension finie et applications.
- Riesz
- Ascoli

Espaces connexes
- Définition, propriétés.
- Connexes de R, théorème des valeurs intermédiaires.
- Composantes connexes, structure des ouverts de R


Calcul différentiel

Applications différentiables
- Applications différentiables, différentielle,
- règles de calcul, applications C^1, difféomorphismes.

Inégalité des accroissements finis
- Inégalité des accroissements finis.
- Applications (limite d'une suite d'applications différentiables, une fonction est C^1 si et seulement si ses dérivées partielles sont continues...).

Différentielles d'ordre supérieur
Théorème de Schwarz.

Formules de Taylor
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