Ecole normale supérieure de Lyon
Département de mathématiques

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Probabilités avancées

Contenu du cours de probabilités avancées


    Conditionnement. Espérance conditionnelle, lois conditionnelles.
    Calcul pour les vecteurs gaussiens.

    Martingales discrètes. Filtrations. Martingales, sous-martingales,
    sur-martingales. Temps d’arrêt, tribu associée, théorème d’arrêt.
    Inégalité du nombre de montées de Doob, théorème de convergence p.s.
    Inégalité maximale de Doob. convergence dans Lp,p > 1, le cas particulier
    des martingales L2. Uniforme intégrabilité, convergence dans L1.
    Martingales rétrogrades. Applications (loi du 0 − 1, loi forte des grands
    nombres, produits infinis de variables indépendantes, problèmes d’arrêt
    optimal, ...).

    Chaînes de Markov. Définitions d’une chaîne de Markov (à espace
    d’états dénombrable et à temps discret), propriété faible et forte de
    Markov. Classification des états, irréducibilité, transience,
    récurrence. Mesure invariante : existence, unicité. Théorèmes de
    convergence : théorème ergodique, convergence en loi vers la mesure
    invariante. Chaînes de Markov réversibles, cas particulier des chaînes de
    Markov sur un ensemble fini. Exemples : Marches aléatoires, processus
    de branchement, modèle d’Ehrenfest, méthode de Monte-Carlo, cas simples
    de cut-off, ...

    Thèmes au choix de l’enseignant (pouvant être distribuées dans les
    deux chapitres précédents) Exemples : processus de Poisson et chaînes
    à temps continu, critère LlogL pour l’uniforme intégrabilité du processus
    de branchement sur-critique, renouvellement, fluctuation des marches
    aléatoires, graphes aléatoires, grandes déviations, etc...

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