Ecole normale supérieure de Lyon
Département de mathématiques

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Intégration et probabilités

Contenu du cours d'intégration et probabilités

1. Transformée de Fourier dans R^d

Mesures signées (mesures complexes)
Définition, mesure et norme de variation totale, théorème de
Radon-Nikodym, décomposition de Hahn-Jordan d'une mesure signée en
différence de deux mesures positives portées par des ensembles
mesurables disjoints. Cas complexe*.

Transformée de Fourier
Transformée de Fourier d'une mesure finie (positive, signée ou
complexe). Continuité d'une transformée de Fourier, conditions
d'appartenance à C^k.  Liens avec la convolution et avec l'opérateur
de translation. Cas d'une fonction de L^1, lemme de
Riemann-Lebesgue. Transformée de Fourier d'une dérivée. Transformée de
Fourier d'une Gaussienne. Injectivité de la transformée de
Fourier. Formule d'inversion pour une fonction de L^1 dont la
transformée est dans L^1. Transformée de Fourier L^2, formule de
Plancherel. Applications* (analyse de l'équation de la chaleur, liens
avec les séries de Fourier).

2. Probabilités

Bases des probabilités
Espaces de probabilités, probabilités conditionnelles. Variables
aléatoires et leurs lois. Espérance mathématique. Exemples de lois
classiques, notion de loi à densité.  Fonctions caractéristiques,
fonctions de répartition, fonctions génératrices, transformée de
Laplace. Liens avec les moments.

Notion d'indépendance
Indépendance d'événements, de tribus, de variables
aléatoires. Caractérisation(s) de l'indépendance. Somme de variables
aléatoires indépendantes. Existence d'une suite de variables
indépendantes de lois données*. Loi du 0-1 de Kolmogorov, lemme(s) de
Borel-Cantelli. Applications.

Loi des grands nombres
Comparaison des différents modes de convergence forte:
Convergence L^p, presque sure, en probabilités.
Loi faible des grands nombres faible. Loi forte des grands
nombres.

Convergence en loi et théorème de la limite centrale
Convergence étroite des mesures de probabilités, convergence en loi de
variables aléatoires. Caractérisations de la convergence en loi
(notamment convergence des fonctions de répartition en tout point de
continuité de la limite), théorème de Lévy (la convergence en loi
équivaut à la convergence ponctuelle des fonctions caractéristiques)
Théorème de la limite centrale. Applications aux statistiques
(intervalles de confiance asymptotiques). Vecteurs gaussiens et
théorème de la limite centrale multidimensionnel.

Thèmes de probabilités (selon le temps restant)
Théorème de Polya: récurrence ou transience de la marche aléatoire
simple sur Z^d*. Inégalité de Hoeffding, application aux
intervalles de confiance exacts*. Fonctions de répartition empiriques,
théorème de Glivenko-Cantelli*.
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