Intégration et mesure

Contenu du cours intégration et mesure

Bases de la théorie de la mesure
Rappels sur la dénombrabilité et les familles sommables.
Algèbres de Boole et
sigma-algèbres. Fonctions mesurables. Mesures positives. Lemme(s) de
classes monotones, application à la caractérisation d'une mesure
connue sur un pi-système qui engendre la sigma-algèbre.

Intégrale de Lebesgue par rapport à une mesure positive
Fonctions étagées, intégrale de Lebesgue. Théorème de Beppo-Lévy,
lemme de Fatou, théorème de convergence dominée. Application à la
continuité et la dérivabilité des intégrales à paramètres.

Construction de mesures
Mesures extérieures, sigma-algèbre des ensembles mesurables par
rapport à une mesure extérieure. Théorème d'extension de
Carathéodory. Application à la construction de la mesure de Lebesgue,
comparaison entre la tribu de Borel et la tribu de Lebesgue. Lien
entre intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann. Mesures de
Stieltjes. Lien avec le théorème de représentation de Riesz.

Espaces L^p
Fonctions L^p, inégalités de Minkowski et de
Hölder. Espace L^p, complétude, existence de limites presque-partout
le long de suites extraites de suites convergeant dans
L^p. Théorèmes de densité pour les espaces L^p. Théorème de
Radon-Nikodym, décomposition de Lebesgue d'une mesure borelienne en
sa partie absolument continue et sa partie singulière.

Espaces de Hilbert : bases hilbertiennes et séries de Fourier
Familles orthonormales, inégalité de Bessel-Parseval, bases
Hilbertiennes. Application à la classification des espaces de Hilbert
séparables, le cas de l'espace L^2, réflexivité. Polynômes
trigonométriques, Séries de Fourier, convergence L^2, amélioration de la convergence
(noyaux de Dirichlet et Féjer). Contre-exemples à la convergence uniforme, phénomène de Gibbs*.

Mesures produit
Produit (fini) de sigma-algèbres, mesures produit, théorème de
Fubini. Applications: Intégration par
parties. Convolution, régularisation, approximations
de delta_0. Calcul du volume de la boule unité.

Formule de changement de variables
Changement de variable affine, changement de variable par un
difféomorphisme C^1. Applications. Mesure de Lebesgue sur la sphère
unité.


Si le temps le permet, l'enseignant peut choisir de traiter les mesures signées du programme d'intégration de second semestre, ou un autre thème au choix (ex. différentiation des mesures*, points de Lebesgue d'une fonction L^1*)