Ecole normale supérieure de Lyon
Département de mathématiques

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Géométrie avancée

Contenu du cours de géométrie avancée


    Variétés topologiques et différentiables. Définition et exemples de
    variétés topologiques et différentiables. Unicité de structures
    différentiables. Variétés différentiables à bord. Applications lisses.
    Espace tangent. Différentielle d’une application. Submersions,
    immersions, plongements.

    Singularités d’une application lisse. Théorème du rang constant.
    Points critiques, valeurs critiques, valeurs régulières. Sous-ensembles
    négligeables d’une variété. Théorème de Sard. Partitions de l’unité.
    Approximation des fonc- tions lisses par des immersions. Théorème
    d’immersion et de plongement de Whitney (version facile). Transversalité.

    Fibrés vectoriels. Rappels d’algèbre multilinéaire sur R :
    applications multilinéaires, produit tensoriel, produit extérieur.
    Définition de fibré vectoriel. Fibré tangent. Morphismes de fibrés
    vectoriels. Opérations sur les fibrés vecto- riels. Trivialité des fibrés
    vectoriels sur une base contractile.

    Champs de vecteurs. Champs de tenseurs. Équations différentielles
    autonomes sur une variété. Dérivée de Lie d’un champ de tenseurs. Crochet
    de Lie de deux champs de vecteurs. Champs de vecteurs commutants.

    Intégration sur variétés. Formes différentielles. Orientations et
    formes volumes. Revêtement des orientations. Integration de formes
    différentielles sur variétés orientées. Différentielle extérieure.
    Théorème de Stokes.

    Cohomologie et applications. Cohomologie de De Rham. Invariance par
    homotopie de la cohomologie de De Rham. Lemme de Poincaré. Théorème de
    Mayer-Vietoris. Cohomologie des sphères. Théorème de l’invariance de la
    dimension. Théorème du point fixe de Brouwer.
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