Calcul différentiel 2

Contenu du cours de calcul différentiel 2

L’ordre entre équations différentielles et sous-variétés est
laissé au choix de l’enseignant.


Equations différentielles

Equations différentielles générales :
- Cauchy-Lipschitz, unicité, solutions maximales...
- Gronwall, dépendance continue
- Equations d'ordre supérieur

Equations différentielles linéaires :
- "Cauchy-lipschitz linéaire",
- Variation de la constante,
- Coefficients constants, exponentielle
- EDL d'ordre supérieur.

Equations autonomes, le flot, portrait de phase.

Calcul différentiel et sous-variétés

Théorèmes d'inversion locale, des fonctions implicites et du rang

Sous-variétés de R^n
- Définition(s), espace tangent, théorème de la submersion, de l'immersion ...
- Exemples (dont groupes de Lie à développer selon le souhait de l’enseignant).
- Applications différentiables, application tangente.
- Partitions C^infini de l'unité.
- Extrema liés.
- Paramétrage comme graphe sur l'espace tangent en un point.

Courbes et surfaces
Courbes
- courbure, cercle et plan osculateur, abscisse curviligne
- en dimension 2 : exemples, existence d'une courbe à courbure prescrite
- en dimension 3 : courbure, torsion, repère de Frenet, existence d'une courbe à courbure et torsion prescrite.

Surfaces dans R^3
- Position par rapport au plan tangent
- théorème d'Euler, courbure de Gauss et moyenne
- formes fondamentales,
- 2 points de vue sur la deuxième forme fondamentale (Euler ou différentielle du vecteur normal)