Analyse et EDP

Contenu du cours d'analyse et EDP

1. Transport

Transport linéaire: Solutions classiques, méthode des caractéristiques. Conditions aux limites. Notion de dérivée faible, exemples: masse de Dirac, formule des sauts, valeur principale. Solutions faibles, existence, unicité par la méthode HUM.
Schémas numériques centrés et décentrés.

Lois de conservation scalaires:
Solutions classiques, méthode des caractéristiques.
Explosion des dérivées, solutions faibles, défaut d'unicité.
Chocs, condition de Rankine Hugoniot, ondes de raréfaction.
Notion de solution entropique pour restaurer l'unicité.
Schémas numériques.

Analyse numérique:
Théorème de Lax: Consistance + stabilité = convergence (quand la solution est régulière).

Application:
Au choix:
Equation de renouvellement en dynamique des populations, calcul des éléments propres
Equation de transport libre, estimation de dispersion


2. Laplacien

Espaces de Sobolev $H^1$ et $H^1_0$
Définition à l'aide des dérivées faibles, structure d'espace de
Hilbert
Densité des fonctions $C^{\infty}$, lemme de Poincaré. Trace.

Inversion du Laplacien. Formulation variationnelle, lemme de Lax Milgram. Existence et unicité pour Dirichlet et Neumann.
Régularité dans un cadre $L^2$. Solution fondamentale dans tout l'espace.

Principe du maximum.
Principe du maximum pour le laplacien et dans le cas général d'un
opérateur elliptique. Mise en valeur de l'utilisation du principe du
maximum sur un ou plusieurs exemples (suggestion: limite de viscosité évanescente d'une équation de Hamilton-Jacobi stationnaire simple).

Approximation numérique: Schéma en dimension 1. Notion de maillage, éléments finis, convergence.
Application. Suggestion : problème elliptique non linéaire, $-\Delta u  = u^p$, obstruction à l'existence de solutions.