Ecole normale supérieure de Lyon
Département de mathématiques

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Topologie : Espaces topologiques, topologie initiale, topologie produit, théorème de Tychonov. (Ces notions peuvent aussi être introduites pendant le cours au moment où elles sont nécessaires).

Espaces de Banach, de Fréchet, espaces vectoriels localement convexes. Conséquence de la complétude : théorèmes de Baire, Banach-Steinhaus, application ouverte, graphe fermé. Conséquence de la convexité : Hahn- Banach, Krein-Milman.

Dualité. Exemples de dualité (espaces de Hilbert, Lp Lq, C(X) M(X) sans preuve). Topologie faible, préfaible et réflexivité. Banach-Alaoglu et applications. Notion d’adjoint.

Distributions : support, convolution, distributions tempérées et transformée de Fourier. Espaces de Sobolev dans Rn et injections de Sobolev. Solutions fondamentales pour la chaleur, les ondes, le Laplacien.

Théorie spectrale : notion de spectre d’un opérateur borné sur un espace de Banach. Alternative de Fredholm, opérateurs compacts. Diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints (ou normaux) sur un espace de Hilbert. Théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints (ou normaux) bornés sur un espace de Hilbert.


 

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