Ecole normale supérieure de Lyon
Département de mathématiques

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Algèbre avancée

Contenu du cours d'algèbre avancée

1. Modules

Notion de module et algèbre linéaire générale : sous-module,
quotient, factorisation d’une application linéaire par le quotient;
module libre, module de type fini. Matrice d’une application linéaire,
théorème de Cayley-Hamilton. Notion de module noethérien.

Modules de type fini sur les anneaux principaux : modules libres,
théorèmes de structure, applications (structure des groupes abéliens de
type fini, réduction des endomorphismes)

Produit tensoriel : sur un corps ; produit tensoriel de modules ;
extension des scalaires; produit tensoriel et suites exactes, notion de
platitude; produit tensoriel d’algèbres ; algèbre tensorielle (algèbre
extérieure)

2. Anneaux

— Anneaux locaux, lemme de Nakayama

— Localisation d’un anneau, d’un module, d’un idéal ; lien avec la
platitude ; notion de propriété locale

— Extensions d’anneaux, intégralité, finitude, notion d’anneau intégrale-
ment clos

En fonction du temps disponible, on pourra aborder des thèmes
supplémentaires comme anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind,
Nullstellensatz...

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