Algèbre 2

Contenu du cours d'algèbre 2


1. Anneaux

Définition, morphisme, idéal.
Anneau quotient, caractéristique, intégrité.
Anneaux de polynômes, degré, zéros, annulation.
Corps des fractions, le cas du corps des fractions rationnelles.
Propriétés des anneaux:
noethérien (théorème de Hilbert) ;
factoriel: PGCD, PPCM, lemme de Gauss ;
principal: PGCD, PPCM, Bézout ;
euclidien: algorithme d'Euclide.


2. Corps et introduction à la théorie de Galois

- Extensions de corps

Corps de rupture, de décomposition, clôture algébrique.
Corps finis.
Constructions à la règle et au compas.

- Théorie de Galois

Extension normale, séparable. Elément primitif.
Extension galoisienne et groupe de Galois.
Théorème d'Artin et correspondance de Galois.
(applications de la théorie de Galois)