Algèbre 1

Contenu du cours d'algèbre 1

0. Relation d'équivalence, quotient

1. Dualité, formes bilinéaires, formes quadratiques

- Espace dual, morphisme adjoint, bidual.
- Forme bilinéaire, orthogonalité. Lien entre forme bilinéaire sur E x E et morphisme E --> E^*.
- (Produit tensoriel pour les espaces de dimension finie sur un corps, lien avec le Hom).
- Forme symétrique, alternée.
- Forme quadratique en caractéristique différente de 2, algorithme de Gauss.

2. Groupes et représentations

- Rappels sur les groupes, classes à gauche, théorème de Lagrange.
- Sous-groupe distingué, quotient.
- Actions de groupes, orbite, stabilisateur (théorèmes de Sylow).
- Représentations linéaires des groupes finis, semi-simplicité, caractères.

3. Introduction aux groupes classiques

- Groupes linéaires et orthogonaux.
- Générateurs.
- Simplicité.
- Décomposition polaire.